藉著颱風天思考一下這個問題 嘉惠各位困惑已久的人
首先我們只考慮在單位時間下也就是在某個瞬間人受雨的情況
假設某人所在的雨區雨量是均勻分布的(這會影響雨滴的撞擊密度) 也就是說在這個雨區內同一時間任何位置方向上所接收的雨滴密度是一樣的
我們給雨滴密度設定為N:單位面積上所接受的雨滴數 同時我們也要假設每顆雨滴的大小相同 且為硬球體(實際雨滴是流體 受到重力作用形狀不會是正球體)
假設雨滴的垂直速度VD, 雨滴的橫向速度VX, 人行走的速度VM, 人的垂直正面面積AD(頭和肩膀),人的水平正面面積AW(臉和身體)
為了簡化人的表面積複雜性 我將人視為一個長方體 上面是AD 前面是Aw
如下圖所示:
因為系統的速度變量太多 我將人視為相對參考座標
因此不管人如何運動我只視雨滴以何種速度打在人上
所以雨和人之間的相對速度其垂直速度分量仍是VD, 但水平速度分量是水滴的橫向速度VX與人運動的速度VM相加 設為VW
這樣雨滴就只受垂直與水平兩種速度影響 長方體(人)的速度在這個系統視為靜止
假設長方體單位時間受的雨量在垂直方向是FD
FD=AD*fD*VD
同理水平方向是
FW=AW*fw*VW
當雨滴是傾斜打在長方體上則上面感受雨滴的密度與垂直感受雨滴的密度會不同
fD=N*[A2/(A1+A2)]
fW=N*[A1/(A1+A2)]
A1是長方體上面在雨滴正向垂直的投影面積
A2是長方體正面在雨滴正向垂直的投影面積
如下圖所示
雨滴的方向與垂直速度的方向夾角為q
所以A1=AWSINq A2=ADCOSq
整個長方體在雨滴方向的投影面積是A=A1+A2
因此總體所受斜打雨滴的密度是N
fD=N*[ADCOSq/(AWSINq+ADCOSq)]
fW=N*[AWSINq/(AWSINq+ADCOSq)]
所以
FD=AD*[N*ADCOSq/(AWSINq+ADCOSq)]*VD
FW=AW*[N*AWSINq/(AWSINq+ADCOSq)]*VW
這兩個式子分別是雨滴瞬間打在AD與AW的雨量
因此當人行走的速度越快的時候VW越大所以q角度越接近90度
若VW>>VD, q~90度
FD~0, FW=AW*N*VW=Ft
所受總雨量幾乎由正面所接受的雨量而提供 而頭頂幾乎受不到雨
所以跑得越快越不容易淋到雨
但是人短跑的世界紀錄目前約是10.3m/s
而雨滴在無風力作用下的自然落下的終端速度約是2~8m/s
也就是說單純以人的能力不可能達到q~90度
而VW不一定是只有人跑步的速度貢獻 還有風力在水平方向上的加成作用
如果是7級強風風速約14m/s 加上短跑健將 加乘起來VW可達24m/s 是雨滴速度的3倍 這樣就有效果了
但是即使水平相對速度達到最大 人體正面的面積一定比頭頂加肩膀的面積大
比起在無風下而慢走的人
q~0度, FD=AD*N*VD=Ft
雨幾乎只落在頭頂與肩膀 所以慢走會比快跑受到的瞬間雨量少
但是你要比雨滴的速度(2m/s)慢上很多才有效果
而這樣人除非等雨停 否則會一直在淋雨 等到超過比跑步的人還多的受雨量
因此我們要考慮淋雨的時間 也就是人通過雨區的時間
假設雨區的長度是L, 而人的速度是Vm 則淋雨的時間是L/Vm
注意這裡Vm不是Vw, 因為Vw是包含Vm的物理量
但是如果排除風力的作用 Vw=Vm
也就是雨滴完全是垂直落下, 而人跑過去雨滴的相對方向是傾斜的q, 而這個q完全由奔跑的速度貢獻
這時淋雨的時間就是L/Vw
總雨量就是Nt=Ft*(L/Vw)
如下圖所示
所以假設無風狀態下某人通過一個長度L的雨區所淋到的總雨量是
Nt={AD*[ADcosq*N/(AWsinq+ADcosq)]*VD+AW*[AWsinq*N/(AWsinq+ADcosq)]*VW}*(L/VW)
如果雨滴的垂直速度VD不變 則VW=V*sinq, VD=V*cosq 所以VW=VDtanq 代入上式
Nt={AD*[ADcosq*N/(AWsinq+ADcosq)]*VD+AW*[AWsinq*N/(AWsinq+ADcosq)]*VDtanq}*[L/(VDtanq)]
當人靜止時 q=0 所以受雨量無限大 永遠都在雨區內淋雨
當人跑越快 q接近90度 所以[L/(VDtanq)]接近零
而tan函數在0~90度的影響 越接近90度影響越大 也就是當我們跑的速度超越雨滴速度數倍以上就能淋的越少
即使最少也只能少到AW*N*L 也就是瞬間這個長方體雨區內的雨量 而這必須很快很快的人才能達到
一般人大概解到這裡就滿足了
但是我認為在q=90時 真正到達那樣時會發生什麼事?
讓我們異想天開一下 假設有人搭次光速飛行器穿越雨區會如何?
根據狹義相對論 在物體運動的方向空間會被收縮
也就是雨區的長度從L變成L'
L'=[1-(Vm/C)^2]^0.5
假設飛行器的速度是0.5C(光速的一半)
L'=0.866L
這是飛行器上的人對雨區的看法
同樣的 飛行器外的人看AD也縮小成0.866AD, 但是Aw不變 因為不是在運動方向上的座標不會有改變
在運動方向上 飛行器上的人看瞬間雨區內的總雨滴數並沒有增加也沒減少 飛行器外的人來看也沒改變
而是飛行器外的人計算飛行器通過雨區的時間變長了!
也就是N原本是單位面積單位時間上的雨滴數
現在新的時間是t'=t[1-(Vm/C)^2]^(-0.5)
t'=1.155t
飛行器上每單位時間等於飛行器外單位時間的1.155倍
假如我們坐在飛行器上通過雨區不會感覺雨量變化
但是飛行器外的人看飛行器在運動方向上的雨滴碰撞密度減低 事實上是外面的人看飛行器的速度比實際Vm還慢了些
所以Nt=Aw*(N/1.155)*(1.155t)=Aw*(N/1.155)*(L/0.866Vm)=Aw*N*(0.866L/0.866Vm)
飛行器外面的人感覺飛行器的是黑色的物理式而飛行器內部的人以為雨滴是紅色的物理式
所以飛行器外面的人感覺到飛行器的速度是0.866Vm=0.433C 這也是飛行器內的人感覺雨滴的速度
飛行器內的人感覺雨區的長度縮短了 但是相對雨滴水平速度也縮短 所以飛行器內的人不會感覺到時間延長
如果飛行器很接近光速0.999C
Nt=Aw*(N/22.37)*(22.37t)=Aw*N*(0.048L/0.048Vm)
如果飛行器到達光速C
Nt=Aw*0*無窮大=Aw*N*(0/0)
因此任何物體都無法達到光速 只能很接近光速 而這時飛行器外的人以為飛行器比龜速有過之而無不及 但是飛行器上以為飛行器正常以光速飛行
而飛行器內的人以為雨區被壓縮成一點點 外面的人以為飛行器壓縮成紙片
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